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Storie magazine

4/2012 | LA CRISI

FILOSOFIA

Le verità indimostrabili di Kurt Gödel

    (Elena Tosato) – Che fine hanno fatto le sale d’aspetto nelle stazioni ferroviarie? Non sembrano più loro. Il mio treno era, secondo programma, in ritardo, per un guasto tecnico non ben specificato che lo aveva lasciato alla stazione precedente in balìa della sua riparazione e io me ne stavo a leggere certi articoli e a meditare su alcuni fatti. Un signore alto era seduto vicino a me. Aveva lo sguardo fosco di chi sta per dire qualcosa sulla Verità. Leggevo degli articoli di logica e quando glielo dissi lui mi si parò davanti e disse kurt-godelcon tono grave: “Signora mia, non esistono verità indimostrabili!” come se si trattasse delle mezze stagioni. “Lo ha detto Gödel” concluse, con un solitario trionfo.

    Conoscevo la storia. Si era svolta così: il 1931 era appena cominciato, a Vienna e nel mondo. In quell’anno Salvador Dalì avrebbe dipinto i suoi orologi molli, Herman Hupfeld avrebbe composto “As time goes by” in attesa che Casablanca la consacrasse come canzone dei ricordi tra Rick e Ilsa, e il commissario Maigret avrebbe fatto la sua prima comparsa pubblica. La crisi che era scaturita dal crollo di Wall Street nel ’29 non aveva ancora allentato la morsa. In Austria il 1931 avrebbe visto il Creditanstalt, la maggiore banca di quello che era stato l’impero austroungarico, fondata ottant’anni prima dai Rothschild, dichiarare bancarotta; ma l’anno, allora, era appena cominciato. E all’inizio dell’anno un matematico venticinquenne dell’università di Vienna pubblicava un lavoro che avrebbe messo in crisi la logica: si chiamava Kurt Gödel, frequentava il Circolo di Vienna e andava dritto al cuore di alcuni dei fondamenti della matematica; speranze e preconcetti del pensiero matematico e filosofico del primo Novecento si infransero sulla sua dimostrazione.

    Come spesso accade ai personaggi paradigmatici, Gödel e i suoi teoremi hanno la propensione a diventare dei cliché. Anche perché era un tipo davvero strano: morì d’inedia per l’incoercibile terrore che qualcuno gli avvelenasse il cibo; alla gente piacciono i personaggi così, ma solo quando sono morti.

    Il signore alto nella sala d’aspetto del treno mi guardava leggere degli articoli e diceva che non esistono verità indimostrabili, e sentire frasi del genere è abbastanza comune; è anche abbastanza comune che il latore di queste lapidarie sentenze non abbia letto davvero i teoremi di Gödel ma li abbia orecchiati da qualche parte e usi il ricorso all’autorità per convincere l’ascoltatore

    1. dell’esistenza di una qualche divinità (solitamente, la stessa in cui crede lui)
    2. del fatto che una data pseudoscienza funziona, anche se lui non ti può dimostrare che funziona
    3. che il ragionamento da solo non basta, e c’è bisogno della fede (solitamente, nella stessa divinità di cui al punto 1.)

    In realtà, per poter dire che verità e dimostrabilità sono due cose diverse la storia è più articolata, parte da molto lontano e parla di coerenza e completezza e dei fondamenti della matematica. Lo dissi al signore alto, che nel frattempo si era alzato in piedi e camminava con le lunghe falcate di un pendolo davanti a me. La storia era davvero più lunga di come la faceva lui.

    La geometria era fondata sul metodo assiomatico-deduttivo sin dai tempi di Euclide: si enunciava un certo numero di assiomi, o di “verità autoevidenti”, e da essi si deducevano i vari teoremi. Alla fine del XIX secolo il metodo si era esteso ad altri rami della matematica: Peano aveva assiomatizzato l’aritmetica dei numeri naturali (che sono i numeri con cui si conta: 1, 2, 3…) e da ciò si era capito che l’aritmetica è qualcosa di formalmente astratto e che la validità delle dimostrazioni matematiche dipendeva dalla struttura delle affermazioni, non tanto da cosa le affermazioni dicessero.

    Un problema che veniva posto a questo punto era quello della coerenza, cioè se fosse o meno impossibile dedurre teoremi mutuamente contraddittori partendo dallo stesso insieme di assiomi.

    Per fare ciò c’era bisogno di stabilire validi criteri di coerenza. Fu il matematico David Hilbert a proporre il programma di effettuare la completa formalizzazione di un sistema deduttivo: l’idea era di considerare le espressioni presenti nel sistema come semplici segni senza significato che si combinano tramite un dato insieme di regole, e tutto quello che rimane da fare è costruire un sistema di segni (o, in altre parole, un calcolo) che contenga soltanto ciò che vi era introdotto in modo esplicito, senza far riferimento ad altro.

    Secondo il programma di Hilbert teoremi e postulati sarebbero diventati delle sequenze di simboli senza significato, ed è su queste sequenze che si sarebbe dovuto lavorare, arrivando alle conclusioni con un numero finito di passi. Così facendo si comincia a fare delle distinzioni tra gli oggetti e le descrizioni degli oggetti: si passa dalla matematica alla metamatematica. Hilbert era un matematico di grandissimo prestigio e di eccelsa qualità. Il suo programma costituiva una grossa sfida. Ma come fu affrontato?

    S’è detto poco fa che il calcolo deve contenere solo ciò che vi è stato introdotto in modo esplicito: nelle usuali dimostrazioni matematiche sono infatti spesso impliciti dei teoremi logici, o delle regole di inferenza. Fu il proposito di logici come Russell, o Frege prima di lui, di dimostrare che tutte le nozioni aritmetiche si potevano descrivere in termini puramente logici e che tutti gli assiomi dell’aritmetica si potevano dedurre da un certo numero (finito) di verità logiche. In altre parole, l’intento era di descrivere la matematica pura come un capitolo della logica formale. E con questo, la coerenza sarebbe stata sistemata.

    Gödel riuscì a ricondurre il linguaggio metamatematico a quello matematico, con un procedimento che qui non verrà riportato nel dettaglio: costruì una formula matematica che corrispondeva all’espressione “il calcolo è coerente” e dimostrò che questa formula non era dimostrabile all’interno del calcolo stesso. In altre parole, l’espressione “il calcolo è coerente” (che è un’espressione metamatematica, perché parla della matematica) può essere dimostrata solo se si introducono regole logiche che non possono essere rappresentate dal calcolo.

    L’altro problema era quello della completezza: dato un insieme di assiomi, essi si dicono completi se sono sufficienti a dedurre tutte le verità logiche esprimibili nell’ambito del sistema di quegli assiomi. Fino a Gödel si riteneva che per ogni ramo della matematica si potesse costruire un insieme completo di assiomi. Con la dimostrazione di Gödel si arrivò invece a costruire una formula aritmetica che era vera, ma era formalmente indecidibile, quindi dato qualsiasi insieme di assiomi dell’aritmetica esistevano delle proposizioni aritmetiche vere ma non deducibili dagli assiomi di partenza. In altre parole, si tracciava una limitazione alle possibilità intrinseche del metodo assiomatico.

    L’uomo alto non era convinto. Una teoria rivoluzionaria come quella di Gödel, diceva, va applicata ovunque. “Lei non capisce, signora mia, non capisce”, diceva, e faceva avanti e indietro. “Le verità indimostrabili! Ah! E gli enunciati indecidibili! Sa cosa vuol dire, un enunciato indecidibile?” E io risposi che sì, sapevo cos’era: se da un insieme di assiomi non puoi dimostrare né una proposizione né la sua negazione, quella proposizione è indecidibile. “Ma allora lo vede, lo vede anche lei! La crisi dell’uomo moderno! L’uomo moderno che non sa dove andare e si dibatte nei suoi dubbi! Alla deriva nel paese inesplorato dalla cui frontiera nessun viaggiatore fa ritorno, lo sa chi lo diceva questo, lo sa?” “No” “Amleto! Tutto si spiega, tutto trova una sua collocazione, nella Verità!”

    Mi grattai pensosamente la testa. Faccio così quando non so cosa dire o non voglio offendere chi mi sta davanti. “Io mi limiterei a tenerlo nell’aritmetica, sa, non faccio il passo più lungo della gamba; non nego che ci siano ricadute filosofiche interessanti sul meccanicismo ma…” L’uomo non mi lasciò finire: “Questa è la prova. La pro-va!” scandì “Che l’Uomo s’innalza al di là della Ragione bruta, e al contempo al di là della Bestia! Mi segue?”

    Guardavo di qua e di là. Nella sala d’aspetto non c’era nessuno, a parte noi. Questo succede perché nessuno fa più caso alle sale d’aspetto. Sono un retaggio di un passato ferroviario. Assistevo con orrore alla nascita di un nuovo profeta: ne fioccano a ripetizione, è il mestiere del momento, sarà perché c’è crisi, e quando la follia non s’accompagna al genio ci si può aspettare solo un dozzinale cataclisma. “Allora? Mi segue?”

    Mi limitai a un grugnito: come da programma di Hilbert, un segno senza significato. L’uomo proseguì con la sua orazione. Era diventato sempre più accalorato e mistico. Ascoltavo la sua voce come si ascolta il ribollire di una pentola di fagioli. Non c’era più modo di fermarlo. Avrebbe preso Gödel e lo avrebbe stropicciato per adattarlo ai suoi scopi, anche lui, come tutti si appropriano dei concetti scambiandoli per merci e sfoggiandoli in occasioni mondane per aumentare il proprio prestigio sociale.

    La voce registrata m’informò che il mio treno era in arrivo.


    Bibliografia
    La prova di Gödel si può leggere, tradotta in inglese e in termini matematici correnti, a questo indirizzo www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf
    Una versione più divulgativa si può trovare in:
    E. Nagel, J.R. Newman, “La prova di Gödel” (Bollati Boringhieri)


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